主题：【正道数学】比特币挖矿中的概率统计问题

【正道数学】比特币挖矿的数学问题

比特币是一种新型货币。随着比特币价格持续上涨，比特币“挖矿”这一概念走入大众视野。简单来说，“挖矿”就是寻找一个数字，在进行一些运算过程后，运算结果能刚好满足特定要求。这个运算过程是确定已知的，特定的要求也是确定已知的，唯一要求就是找到这个幸运数字。可是我们无法通过数学方法算出这个数字，也无从得知找到该数字的任何线索，只能利用暴力方法，一个一个地尝试，直到恰巧找到这个幸运数字满足要求。因此，每个数字输入后，计算结果刚好满足要求的概率都是相同的。尝试每个数字是否符合要求都要让计算机计算一段时间，且时间是相同的。

找寻这个幸运数字很困难。这是因为，这个数字的可能范围非常大，至少有2²⁵⁶（约为10⁷⁷）个可能。根据2025年10月的数据，整个世界上每秒大概尝试了10²¹次数字，由于平均过10分钟（尝试了约6x10²³次）才产生一个成功的数字，因此尝试一次成功概率约为1/6x10²³，极低。

虽然困难，但由于谁算对了数字，比特币系统就会给谁发放价值不菲的比特币作为奖励，因此随着比特币价格的上涨，越来越多的人涌入计算幸运数字的行列。这个尝试数字以试图成功获取奖励的动作就是“挖矿”。这些人就被称为“矿工”。由于挖矿是完全的暴力枚举游戏，因此矿工希望自己计算机的算力更加强大，这样可以在相同时间尝试更多数字，提高自己找到这个幸运数字的概率。因此矿工们购置大量的专业计算设备，以提高他们的电脑的计算能力。由于每个数字是否成功的概率是相等的，而计算时间也是一样的，因此找到幸运数字的概率就近似与你的算力成正比。

比特币系统规定，整个比特币系统在平均约10分钟会诞生一个幸运数字（无论是谁找出的）。因此，假如你的算力占整个世界上所有矿工的比例为p，那么你平均10/p分钟会找到一个幸运数字，你的平均挖矿速率为0.1p个/min。因为找到幸运数字的概率与你的算力成正比。

假如一个比特币矿工的算力占全网（所有矿工）的比例为r。现在我们来思考下列问题：

1、他在1分钟内挖到k个区块的概率是多少（挖到一个区块的意思就是找到了一个正确数字）？提示：当x趋向于正无穷时，表达式(1+1/x)^x的值为e。

2、假设全球的矿工们分为了两大阵营A和B，他们的算力比例分别是p和q，p<q，当然p+q=1.现在他们分别自己开始同时挖矿。起初B比A多挖了d个区块。给A足够长的时间，那么A能在某时刻追平B阵营挖矿个数（即：A能比B多挖d个区块）的概率是多少？

3、假设全球的矿工们分为了两大阵营A和B，他们的算力比例分别是p和q，p<q。现在A、B阵营进行挖矿比赛，A和B同时开始挖矿（起初二者都没有挖矿），比赛时间无限长。我们定义：若在某时刻出现A比B挖矿个数相同或更多的情景，则A有权宣布比赛成功，比赛立刻结束。只要A挖矿个数等于或超过B，A可随时宣布其获胜，比赛结束，A可以不在一追平B时就宣布胜利。在比赛大屏幕上显示B已经挖矿的个数，但不告诉A的挖矿个数。现在大屏幕上显示z个，则A获得比赛的胜利的概率是多少？给出求和表达式即可，并计算p=0.1, z=2时的概率。

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